1.Contexto en el que surgió:

La sucesión de cambios sociológicos, la proliferación de mensajes consumistas, la cultura de la apariencia, de la superficialidad, del éxito inmediato y sin esfuerzo; el fenómeno de la emigración; la extensión de la escolarización obligatoria hasta los 16 años… hacen, hoy día, inviable una enseñanza uniforme en la que no se contemple la diversidad del alumnado.

El Sistema Educativo actual prevé diferentes vías para el tratamiento de la diversidad. Una de ellas consiste en la adaptación del currículo a las capacidades de los alumnos. Habitualmente, estas adaptaciones se reducen (al menos en matemáticas) a eliminar aquellas partes del programa que requieren mayor base teórica aunque algunas de ellas son las que ofrecen más aplicaciones prácticas. Por el contrario, nuestra experiencia incide en la diversidad de la metodología empleada y no en el recorte de contenidos.

Desde que Tales, en el siglo VI a. C., midió la altura de las grandes pirámides de Egipto comparando la longitud de la sombra arrojada por ellas con la de otro objeto, la realización de mediciones indirectas ha constituido un tema de gran interés. Paralelamente, todos los currículos de enseñanza media han incluido estos problemas. La cuestión es que la resolución analítica de triángulos exige conocimientos de trigonometría que no resultan asequibles para muchos estudiantes. Así, el actual currículo de matemáticas contempla la resolución de triángulos cualesquiera en 1º de Bachillerato de Ciencias y Tecnología, mientras que en 4º opción B se contemplan los casos de triángulos rectángulos, y en 4º opción A, algún caso sencillo (sin aplicaciones a la vida real…), que además suele suprimirse en los grupos de diversificación.

Nuestra experiencia plantea y resuelve problemas prácticos sobre resolución de triángulos cualesquiera tomados de la vida cotidiana (altura de edificios, anchura de un río...) mediante un método que combina los métodos tradicionales con las Nuevas Tecnologías de la Información y Comunicación. Para ello, los alumnos toman medidas in situ con goniómetro o teodolito, longitudes de sombras, imágenes de espejos,..... Realizan una representación a escala en el ordenador, con Cabri-Géomètre, y utilizan esta representación para deducir las magnitudes buscadas(1) . Por tanto se busca es un método atractivo, asequible a la mayoría de los alumnos, que sustituye los cálculos trigonométricos por construcciones gráficas en el ordenador.

La aplicación que presentamos ha sido desarrollada durante los cursos 2002/2003 y 2003/2004 en los IES “Valle del Cidacos” y “Marco Fabio Quintiliano” de Calahorra, y en el IES “Esteban Manuel de Villegas” de Nájera, con alumnos de dos niveles bien diferentes: 4º de la ESO de Diversificación y 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza. Se han evaluado tanto el proceso como los resultados obtenidos, constatando que ambos han sido satisfactorios.

2.Objetivos:

Los objetivos que planteamos en la experiencia son:

1. Conjugar el aprendizaje de conceptos y procedimientos de la geometría desde el punto de vista de las Matemáticas y del Dibujo Técnico, mediante el planteamiento y resolución de problemas de la vida cotidiana.
2. Orientar a los alumnos en un método de trabajo en geometría que integra métodos tradicionales con métodos innovadores, combinando diversas herramientas informáticas.
3. Favorecer el desarrollo de destrezas procedimentales y la capacidad para elaborar estrategias propias en la resolución de problemas, en los alumnos con dificultades para comprender de los conceptos elementales de geometría y/o trigonometría.
4. Aportar una metodología innovadora de aprendizaje dirigida a la resolución de triángulos desde una perspectiva interdisciplinar, con el propósito de hacer más efectivo y atractivo el aprendizaje.

3.Metodología:

1. Se ha desarrollado en el área de Matemáticas de 4º de ESO y 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza que incluyen expresamente esta materia en el currículo.

Decretos(2) 2002	Matemáticas 4º ESO Opción A	Matemáticas I  Bachillerato
	Figuras semejantes. Razón de semejanza. Interpretación de mapas y planos. Escalas. Teorema de Tales. Razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos. Uso de la calculadora científica en los cálculos trigonométricos. Iniciación a la geometría analítica plana: coordenadas de puntos y vectores, distancia entre dos puntos, módulo de un vector. Ecuación general y explícita de la recta	Ampliación del concepto de ángulo. El radián. Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Identidades trigonométricas. Teorema del seno y del coseno. Resolución de triángulos rectángulos y no rectángulos. Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad. Ecuaciones trigonométricas
Decretos(3) 2004	Figuras semejantes. Razón de semejanza. Interpretación de mapas y planos. Escalas. Teorema de Tales. Razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos. Utilización de las TIC en la representación de problemas geométricos	Ampliación del concepto de ángulo. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Identidades trigonométricas. Teorema del seno y del coseno. Resolución de triángulos rectángulos y no rectángulos

2. La experiencia se ha desarrollado con dos grupos: 4º de la ESO de Diversificación y 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza. A los dos se les ha propuesto los mismos problemas, se han resuelto con los mismos métodos y se han obtenido resultados similares. Para los alumnos de bachillerato, la experiencia ha supuesto un complemento de los conocimientos teóricos y una ayuda para realizar los cálculos más tediosos. Para los alumnos de diversificación, la forma de eludir la barrera (infranqueable en muchos casos) de la trigonometría sin renunciar a los ventajas (formativos y de aplicación a la vida real) que ofrece la Resolución de Triángulos.
3. Una vez que se ha propuesto un problema concreto al alumno (por ejemplo, calcular la altura de la estatua de la Matrona) éste debe seguir los siguientes pasos:
   • Elaborar un plan, haciendo simulaciones con Cabri-Géomètre para analizar los datos o mediciones que necesita tomar para la resolución del problema.
   • Tomar las medidas necesarias in situ (longitudes y ángulos de edificios, monumentos, etc), con diversos instrumentos (cinta, teodolito,…)
   • Reproducir la situación real a escala mediante un dibujo realizado con el programa Cabri-Géomètre. Calculan utilizando las herramientas del programa, las medidas en magnitudes reales multiplicando por el factor correspondiente. La precisión es elevada y la dificultad mínima, lo que lo hace asequible a todos los alumnos
   • Análisis de los resultados, aceptándolos o rechazándolos según se adecuen o no a los valores esperados.
   • La experiencia se acompaña de un Sistema Multimedia que, entre otras herramientas didácticas, incluye un novedoso programa elaborado por nosotros en Visual Basic.NET que permite resolver triángulos cualesquiera en dos pantallas: se introducen los datos y el programa efectúa los cálculos y muestra simultáneamente la solución numérica y la solución gráfica, y explica cómo se ha obtenido.
4. Calendario:

   Alumnos de Diversificación

   Primera sesión:

   Formación de grupos y planteamiento del problema: medidas que se pueden calcular mediante la resolución de triángulo.

   Segunda y tercera sesión:

   Introducción al Cabri-Géomètre y adquisición de hábito en el manejo del programa, mediante la realización de ejercicios geométricos y la construcción de los cuatro casos posibles de resolución de triángulos.

   Cuarta y quinta sesión:

   Discusión de algún problema concreto. Reparto de actividades y análisis de mediciones necesarias y elaboración del esbozo.

   Sexta sesión:

   Salida para tomar las medidas de campo.

   Séptima sesión:

   Ejecución del problema y análisis de resultados.

   Octava y novena sesión:

   Exposiciones y discusión de los casos más representativos.

   Alumnos de Bachillerato

   Primera sesión:

   Formación de grupos y planteamiento del problema: medidas que se pueden calcular mediante la resolución de triángulo y construcción de los cuatro casos mediante Cabri-Géomètre.

   Segunda sesión:

   Discusión de algún problema concreto. Reparto de actividades y análisis de mediciones necesarias y elaboración del esbozo.

   Tercera sesión:

   Salida para tomar las medidas de campo.

   Cuarta sesión:

   Ejecución del problema, análisis de resultados y comprobación de los mismos con el sistema multimedia.

4.Desarrollo de la experiencia:

Las fases seguidas en el desarrollo de la experiencia se resumen en los puntos siguientes.

Fig. 1 Cálculo de la altura de una persona a partir de su sombra.

Para alumnos de diversificación:

1. Se forman pequeños grupos de trabajo a los que se pide la selección de edificios, monumentos, estatuas, puentes, u otras construcciones o accidentes singulares de la población en la que residen, con objeto de calcular las medidas de éstos (tamaño o altura), procurando orientarles con el fin de que abarquen todos los casos posibles contemplados en la resolución de triángulos. La propuesta de trabajo en equipos, permite desarrollar habilidades sociales. El trabajo en pequeño grupo facilita las interacciones entre alumnos. La ejecución de una tarea científica colectiva suele ser mejor que la individual, porque la actuación conjunta de todos los miembros del grupo, permite estructurar mejor las actividades y evitar el desánimo ya que es más fácil encontrar estrategias de resolución en grupo. Se plantea un problema concreto (por ejemplo, la altura de un alumno) y se discuten diferentes formas de resolución: tradicionales o aplicando las nuevas tecnologías.
2. Se introducen unas nociones básicas sobre el manejo del programa Cabri-Géomètre. Los alumnos deben habituarse al manejo del programa mediante la construcción de los cuatro casos posibles de resolución de triángulos con la orientación del profesor.
3. El profesor resuelve una actividad concreta (en nuestro caso, la altura del alumno propuesta anteriormente). A continuación se reparten las actividades (entregamos una foto del objeto a medir).
4. Cada grupo elabora un plan, haciendo simulaciones con Cabri-Géomètre para analizar los datos o mediciones que necesita tomar para la resolución del problema.Como es obvio, el profesor orienta a los grupos que lo precisen en la selección de dicha información, a fin de que no sea un obstáculo que les lleve al desánimo. El profesor también orienta sobre el material disponible (goniómetros o teodolitos, etc), con el propósito de que conozcan las posibilidades que ofrecen.

Los alumnos deben detallar las acciones necesarias para la resolución del problema. Para ello se realiza un esbozo de la situación, marcando el posible triángulo que se desea resolver. Después se especifican las medidas de campo a realizar, para la resolución posterior.

Fig 3. Los alumnos trasladan las medidas al ordenador.

5. Los alumnos toman las medidas necesarias in situ (longitudes y ángulos de edificios, monumentos, etc.), con diversos instrumentos (cinta métrica, teodolito) que permitirán la resolución posterior del problema, mediante el uso de las TIC.
6. Los alumnos reproducen la situación real a escala, mediante un dibujo realizado con el programa Cabri-Géomètre. Calculan, utilizando las herramientas del programa, las medidas desconocidas del dibujo. Y transforman estas medidas en magnitudes reales multiplicando por el factor correspondiente. La precisión es elevada y la dificultad lo que lo hace asequible a todos los alumnos.
7. Análisis de los resultados obtenidos. Interesa que los alumnos desarrollen las siguientes actitudes:
   • Revisión sistemática de los resultados, aceptándolos o rechazándolos según se adecuen o no a los valores esperados.
   • Valoración de la coherencia de las medidas obtenidas utilizando métodos alternativos, por ejemplo, calcular la altura de un edificio, estimando la altura de un piso y contando el número total de estos.
   • Valoración de los errores cometidos, de acuerdo con la precisión y unidades en que se expresen y con las dimensiones del objeto a que se refieren.
8. Exposición, por parte de los alumnos de una actividad representativa de cada uno de los casos.

Para alumnos de bachillerato

La metodología empleada con estos alumnos es similar a la empleada con los alumnos de diversificación. No obstante, hay que señalar que nuestros alumnos disponen de conocimientos del programa Cabri-Géomètre desde 4º de ESO, por ello no es necesario dedicar ninguna sesión a enseñar este programa.

Por otro lado, esta experiencia se lleva a cabo una vez que los alumnos han adquirido los conocimientos teóricos sobre trigonometría y resolución de triángulos.

A estos alumnos se les proporciona además un programa elaborado por nosotros en Visual-Basic.NET que resuelve cualquier triángulo de forma gráfica y mediante fórmulas trigonométricas.

5.Sistema Multimedia

Mientras desarrollábamos la experiencia fuimos elaborando materiales informáticos. Con ellos, confeccionamos un Sistema Multimedia con la ilusión de que pudiera ser un estímulo para nuestros alumnos y una ayuda para otros profesores de Matemáticas y Educación Plástica.

La aplicación multimedia está realizada con diferentes herramientas informáticas (Cabri-géomètre, Flash, JavaScript, Visual Basic.NET), compiladas en soporte electrónico en lenguaje HTML con el fin de que pueda accederse a ellas sin tener que disponer de programas comerciales adicionales.

Los contenidos del Sistema Multimedia están agrupados en cuatro bloques: Resolución gráfica de triángulos, Resolución de triángulos, Resolución de triángulos rectángulos y Actividades.

El primer bloque recoge los archivos necesarios para resolver con Cabri-géomètre un triángulo cualquiera

Fig 4. Resolución gráfica de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos con Cabri.

Con la segunda opción, Resolución de Triángulos, descargamos una calculadora gráfica, realizada con Visual Basic.NET, que también permite resolver cualquier tipo de triángulos.

Fig. 5 Resolución gráfica y trigonométrica de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

La innovación estriba en la resolución del problema en dos pantallas: en una muestra la solución numérica junto a las fórmulas trigonométricas utilizadas y, en la otra, la solución gráfica con las figuras de los triángulos tratados, a partir de los datos introducidos. Es decir, se aborda el problema desde una perspectiva interdisciplinar que integra las Matemáticas I y el Dibujo Técnico de 1º de Bachillerato.

Resolución de Triángulos Rectángulos, es una versión simplificada del anterior pensada para los alumnos de 4º de la ESO (opción A y B de matemáticas), cuyo currículo contempla la resolución gráfica y trigonométrica de cualquier triángulo rectángulo.

En Actividades hemos recogido una muestra de los trabajos propuestos a nuestros alumnos de Calahorra, que puede ser utilizada por otros profesores ya que:

• Las actividades propuestas incluyen todas y cada una de las situaciones posibles.
• El alumno puede resolver cualquier problema trasladando las medidas de campo, que ha tomado, a los archivos en Cabri-géomètre (que sustituyen a la regla y al compás) o a la calculadora gráfica. Los archivos sirven para resolver cualquier caso general. Así, la Chimenea de la Fig. 6 sirve para calcular “La altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal sin obstáculos”.

Fig.7 Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal sin obstáculos.